BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spécialité SPCL ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 4 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 / 6 à 6 / 6 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies. 14MA2DSPMLR1 Page 1 / 6 oEXERCICE n 1 (4 points) Une chocolaterie industrielle fabrique des tablettes de chocolat de 200 grammes. Une ma- chine qui fabrique les tablettes est préréglée afin de respecter cette masse de 200 grammes. Lors de la fabrication, toutes les tablettes de chocolat sont pesées et celles dont la masse est inférieure à 195 grammes sont rejetées. L’entreprise ne les commercialisera pas sous cette forme. 1. On désigne par X la variable aléatoire qui, à une tablette de chocolat prélevée au ha- sard dans la production, associe sa masse en grammes.
Ce sujet comporte 6 pages numèrotèes de 1 / 6 À 6 / 6
Les calculatrices lectroniques de poche sont autorises conformment Ā la rglementation en vigueur.
Le sujet est compos de 4 exercices indpendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un rsultat prcdemment donn dans le texte pour aborder les questions suivantes, Ā condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invit Ā faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou non fructueuse, qu’il aura dveloppe. Il est rappel que la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prises en compte dans l’apprciation des copies.
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o EXERCICE n1 (4 points) Une chocolaterie industrielle fabrique des tablettes de chocolat de 200 grammes. Une ma-chine qui fabrique les tablettes est prrgle afin de respecter cette masse de 200 grammes. Lors de la fabrication, toutes les tablettes de chocolat sont peses et celles dont la masse est infrieure Ā 195 grammes sont rejetes. L’entreprise ne les commercialisera pas sous cette forme.
1.On dsigne parXla variable alatoire qui, Ā une tablette de chocolat prleve au ha-sard dans la production, associe sa masse en grammes. On admet queXsuit la loi normale d’esprance 200 et d’cart type 2,86. −4 Les rÉsultats seront arrondis Ā10.
a.Dterminer la probabilit de l’vnement « 195ÉXÉ205 ». b.Dterminer la probabilit qu’une tablette de chocolat prise au hasard dans la pro-duction ne soit pas rejete aprs pese.
2.Une tude statistique a tabli que, si la machine est bien rgle, la proportion de ta-blettes de chocolat rejetes est de 4 %. Afin de vrifier le rglage de la machine, le responsable qualit prlve de manire alatoire un chantillon de 150 tablettes et observe que 10 tablettes sont rejetes. Cette observation remet-elle en cause le rglage de la machine ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)
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o EXERCICE n2 (4 points) Cet exercice est un questionnaire Ā choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre rÉponses proposÉes est exacte. Aucune justification n’est demandÉe. Une bonne rÉponse rapporte un point. Une mauvaise rÉponse, plusieurs rÉponses ou l’absence de rÉponse Ā une question ne rapportent ni n’enlÈvent de point. Indiquer sur la copie le numèro de la question et la rèponse correspondante.
2π2π i0 −i On considre les deux nombres complexesz=2e etz=2e . 3 3
1.La forme algbrique dezest gale Ā : p a.z= −1+i 3 p b.z=1+i 3 p c.z=2+i 3 p d.z=3−i
0 2.Le nombre complexezest le nombre complexe :
a.oppos dez b.inverse dez c.conjugu dez d.oppos du conjugu dez
0 3.Le nombre complexez×z:
a.est un nombre rel b.est un nombre imaginaire pur c.a pour module 2 4π d.est un nombre complexe dont un argument est 3 00 00 4.Un argument du nombre complexeztel quez×z=i est : π a. 3 5π b. 6 π c. 6 π d.− 6
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o EXERCICE n3 (6 points) Dans cet exercice, la temprature est exprime en degrs Celsius ( C) et le tempstest ex-prim en heures. Une entreprise congle des ailerons de poulet dans un tunnel de conglation avant de les conditionner en sachets. á l’instantt=0, les ailerons, Ā une temprature de 5 C, sont placs dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chane du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une temprature infrieure ou gale Ā−24 C.
Partie A La temprature des ailerons dans le tunnel de conglation est modlise en fonction du −1,6t tempstpar la fonctionfdfinie sur l’intervalle [0,+∞[ parf(t)=35e−30.
1.Dterminer la temprature atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
2.Ètudier le sens de variation de la fonctionf.
3.Si les ailerons de poulet sont laisss une heure et demie dans le tunnel de conglation, la temprature des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
4.Rsoudre par le calcul l’quationf(t)= −24 et interprter le rsultat trouv.
Partie B Pour moderniser son matriel, l’entreprise a investi dans un nouveau tunnel de conglation. La temprature des ailerons dans ce nouveau tunnel est modlise, en fonction du temps, par une fonctiongdfinie et drivable sur l’intervalle [0;+∞[, qui est solution de l’quation 0 diffrentielley+1,5y= −52,5.
0 1.Rsoudre l’quation diffrentielley+1,5y= −52,5. 2. a.Justifier queg(0)=5. −1,5t b.Vrifier que la fonctiongest dfinie parg(t)=40e−35. 3.Ce nouveau tunnel permet-il une conglation plus rapide ?
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o EXERCICE n4 (6 points) Au cours de son Évolution, une tornade se dÉplace dans un corridor de quelques centaines de mÈtres de large sur quelques kilomÈtres de long.
Document 1 : L’Échelle de Fujita est une Échelle servant Ā classer les tornades par ordre de gravitÉ, en fonction des dÉgts qu’elles occasionnent. Une partie de cette Échelle est prÉsentÉe dans le tableau ci-dessous.
Catègorie Vitessedes ventsDègáts occasionnès −1 en km∙h F0 60Ā 120Dègáts lègers :dgts sur chemines, arbres, fentres, ... Dègáts modèrès :automobiles renverses, arbres F1 120Ā 180 dracins, ... Dègáts importants :toits arrachs, hangars et F2 180Ā 250 dpendances dmolis, ... Dègáts considèrables :murs extrieurs et toits projets, F3 250Ā 330maisons et btiments de mtal effondrs, forts abattues, ... Dègáts dèvastateurs :murs effondrs, objets en acier ou F4 330Ā 420 en bton projets comme des missiles, ... Dègáts incroyables :maisons rases ou projetes sur de F5 420Ā 510grandes distances, murs extrieurs et toits arrachs sur de gros btiments, ...
Document 2 : á partir des mesures relevÉes lors d’observations de phÉnomÈnes semblables, des mÉtÉoro-logues ont admis la rÈgle suivante : « la vitesse des vents dans les tornades diminue rÉguliÈre-ment de 10 % toutes les 5 minutes ». On appelle « durÉe de vie » d’une tornade le temps nÉcessaire, depuis sa formation, pour que −1 la vitesse des vents devienne infÉrieure Ā 120 km∙h.
Lors de la formation d’une tornade, on a mesur la vitesse des vents par un radar mtoro-−1 logique et on a trouv une vitesse initiale de 420 km∙h .
L’objectif de ce problÈme est d’estimer la durÉe de vie de cette tornade. −1 Dans cet exercice, les rÉsultats seront arrondis Ā 10 km∙h .
−1 1. a.Cinq minutes aprs la mesure initiale, la vitesse des vents est de 378 km∙h . Vrifier que ce rsultat correspond Ā la rgle admise. á quelle catgorie appartient la tornade Ā ce moment lĀ ? b.Vrifier que, quinze minutes aprs la mesure initiale, cette tornade occasionne des dgts classs comme « dgts considrables ».
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2.Pour dterminer la dure de vie de cette tornade, un tudiant propose de modliser le phnomne par une suite gomtrique de raisonq. Il commence Ā laborer l’algo-rithme ci-dessous.
Variables n: un nombre entier naturel v: un nombre rel q: un nombre rel Initialisation Affecter Ānla valeur 0 Affecter Āvla valeur 420 Affecter Āqla valeur 0,9 Traitement Tant que ............ ............................... ............................... Fin Tant que Sortie Afficher 5×n
a.Justifier la valeur 0,9 dans la phrase « Affecter Āqla valeur 0,9 ». b.Donner le premier terme et la raison de la suite gomtrique propose par l’tu-diant. c.Dans l’algorithme ci-dessus, des pointills indiquent des parties manquantes. Recopier la partie relative au traitement et la complter pour que l’tudiant puisse dterminer la dure de vie de cette tornade. d.Expliquer l’instruction « Afficher 5×n» propose par l’tudiant.
3.On dsigne par (vn) la suite gomtrique propose par l’tudiant. Exprimervnen fonction den.
4.Dterminer la dure de vie de cette tornade au sens dfini dans le document 2.