La lecture à portée de main
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Publié par | Studyrama |
Publié le | 18 novembre 2015 |
Nombre de lectures | 11 |
Langue | Français |
Extrait
BACCALAURÉAT
Séries :
ES/L
Épreuve :Mathématiques
(obligatoire)
Session 2014
Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 5
PROPOSITION DE CORRIGÉ
1
Exercice 1(5 points)
1
2
3
)
)
)
4
)
5
)
D'après l'arbre ci-contre :pAB=0 ,7.
( )
Donc réponse :c).
p B=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=.0 , 26
( )
Donc réponse :c).
Fest la primitive defsesvariationsdépendent
donc dusignedef. Commefestnégativesur
4; 12,Festdécroissantesur le même intervalle. Donc réponse :c).
[ ]
3
Sur]0 ;+∞[: lnx+lnx+3=3 ln2⇔ lnx×x+3=ln 2 ⇔
( )( )( )(( ))( )
2 2
lnx+3x=ln 8⇔ x+3x=8 .
( )( )
Donc réponsed).
56
6
∫
L'aire, en unités d'aire est é[5 lnx]=( )−5ln 2 .
( )( )
gale àdx=25 ln6
2
x
Donc réponse :a).
Exercice 2(5 points)
1
2
3
)
)
)
20
u=u−u+50=1250.
1 00
100
20 20
u+=u−u+50=u1− +50=0 , 8u+50.
( )
n1n nn n
100 100
−250=0 ,8u+50−250=0 , 8u−200=0 ,−250=0 , 8v
+1n n8(un)n.
a)vn+=u
1n
vq=0 , 8
Par suite,(n)et de premier termeest une suite géométrique de raison
v=u−250=1500−250=1250 .
0 0
n nn
b) Par formule,vn=v0q=1250×0 ,8. Par suite,un=vn+250=250+1250×0 ,8.
4
c)u4=250+1250×0 , 8=762 . Donc la surface de terrain engazonné au bout de 4
2
années est de762m.
2
n<500
60+20 80
E X= ==40 . En moyenne, son entraînement dure donc 40 minutes.
( )
2 2
)
6
b)
Exercice 3(5 points)
lim=
un250.
n→+∞
DoncClaude a raison, la surface de terrain engazonné ne pourra être inférieure à
2
250m.
0,8u+50
n
n+1
0 ,8<1
Comme ,la suite(vn)est décroissante.
n n
De plus,−1<0 ,8<1,, 8lim 0=0donclim 1250×0 ,8=0et par suite
( )( )
n→+∞n→+∞
3
n nn250
4) a)250+1250×0, 8<500 ⇔ 1250×0, 8<500−250 ⇔,8 0< ⇔
1250
Interprétation: au bout de 8 années, la surface de terrain engazonné sera inférieure à
2
500m.
ln 0, 2
( )
n 0,8 n0, 2⇔ n>(avec, 8ln 0<0).
nl( )<l( )( )
ln 0,8
( )
n
250+1250×0, 8<500 .
ln 0,2
( )
Avec≈7 , 2126, on obtientn=8comme plus petite valeur dentelle que
0
ln 0,8
( )
2
)
60−30 30 3
p X>30=p(X∈[30 ; 60])= ==.
( )
60−20 40 4
)
1
Partie A
Partie B
1
2
3
)
)
)
Comme 57 mm correspond à l'espérance de la loi normale :p1=p D<57=0, 5.
( )
(On peut retrouver ce résultat à la calculatrice.)
p=p56 , 75<D<57 , 25≈0 ,977d'après la calculatrice.
( )
2
p=1−p≈.0 , 023
3 2
Partie C
1
2
)
)
66
f= =0 , 825.
80
1 1
Par formule :I=f−;f+ =[0 , 713; 0, 937].
[ ]
√n√n
Exercice 4
Partie A
1
)
2
)
Par lecture graphique : la concentration à l'instant initial (0 heure) est de2 g/L.
Par lecture graphique, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L entre 0 et 6
heures.
Partie B
1
)
−0 ,5x−0 ,5x−0 ,5x
f' x=1×e+x+2−0 , 5 e=e 1−0 , 5x+2
( )( )( )(( ))
−0 , 5x−0 ,5x
=e 1−0 , 5x−1=−0, 5xe.
( )
D'où le tableau de variations def:
x
signe de -0,5x
−0 , 5x
Signe dee
Signe def '
Variations def
0
2
−
+
−
1
5
f(15)
−0 ,5×0−0 ,5×15−3
oùf0=2 e=2×1=2etf15=17 e≈9 , 4×10.
( )( )
f0 ; 15est donc strictement décroissante sur.
[ ]
4
)
2
−0, 5x
D'après les résultats affichés,f' 'x=0 , 25x−e0 , 5.
( )( )
2
x
signe de
0 , 25x−0 , 5
4
)
3
)
◦puisf9 , 4)≈0 , 104>0 , 1etf9 ,5≈0 , 099<0 ,1doncα∈9 , 4 ; 9 , 5.
( ()] [
)
2
Partie C
1
)
0
actif à partir deαheures. Il est donc actif entre 0 etαheures.
Plus concrètement,le médicament est actif pendant un peu moins de 9,5 heures.
La baisse de concentration ralentie lorsque la courbe change de concavité, c'est à dire
lorsquex=2d'après la partie B, on obtient donc : la baisse de concentration ralentie
−0 , 5x
signe dee
Sur l'intervalle0 ; 15, la fonctionfest continue et strictement décroissante avec
[ ]
5
1
signe de'f '(x)
+
f0=2>0 ,1etf15≈0 , 009<0 , 1. Donc d'après la propriété des valeurs
( )( )
+
5
intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone, l'équationf(x)=0 ,1
D'après la partie B,fα =0 , 1avecα∈donc le médicament n'est plus9 , 4 ; 9 , 5
[ ]
( )
admet bien une unique solution sur0 ; 15.
[ ]
f '' xchange de signe en 2 doncfadmet un point d'inflexion d'abscisse 2.
( )
Pour étudier la convexité defil nous faut donc étudier le signe def '':
0
−
+
Ainsif0 ; 2(est concave surf ''<0 ) et convexe sur2 ; 15(f ''>0 ).
[ ][ ]
+
−
0
au bout de 2 heures.
D'après la calculatrice :
◦f9≈0 , 12>et0 , 1f10≈0 , 08<0 , 1doncα∈9 ; 10[.
( )( )]