Universite Joseph Fourier UE MAT 127 Mathematiques annee 2011-2012 Chapitre 2 Le probleme de l'unicite des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : ? un exemple d'equation differentielle y? = f(y) admettant 2 solutions distinctes pour une meme donnee initiale, ? l'existence et l'unicite de solutions de l'equation de Malthus et de l'equation logistique y? = ay ? by2 ; la resolution explicite de l'equation logistique. ? le theoreme general d'existence et d'unicite pour une equation differentielle y? = f(t, y), lorsque f est assez reguliere. ? l'etude qualitative des solutions de l'equation autonome y? = f(y). ? les isoclines. 1 Le probleme et quelques reponses : 1.1 Un exemple Montrer que l'equation differentielle : y? = 3 ( y2 )1/3 a 2 solutions differentes y¯ : t 7? 0 et y˜ : t 7? t3 correspondant a la meme donnee initiale y¯(0) = y˜(0) = 0 . Faire une representation graphique de ces deux solutions. Y-a-t-il une unique solution y de donnee initiale y(0) = 0 ? 1.2 Unicite dans la loi de Malthus : Etant donnee une constante non nulle a , considerons l'equation differentielle : y? = a y (1) ce qui signifie qu'une fonction y est solution de cette equation differentielle si et seulement si, pour toute valeur t pour laquelle y(t) est definie, y est derivable et verifie y?(t
- condition initiale
- y0 ?
- equation differentielle
- unicite de solutions de l'equation de malthus et de l'equation logistique
- limite finie en temps fini
- probleme de l'unicite des solutions
- resolution explicite de l'equation logistique