Contexte:On se donne Un espace de probabilités(ΩFP) Une filtration{Fn;n≥0} ,→Suite deσ-algèbres telles queFn⊂ Fn+1.
Définition Une suite de variables aléatoires{Xn;n≥0}est adaptée si Xn∈ Fn.
Samy.TI(ECN)1M-aMtrnigalesaNcn-yUniversité4/26
Martingales, Sur-martingales, Sous-martingales
Définition On considère une suite de variables aléatoires X={Xn;n≥0}telle que 1{Xn;n≥0}est adaptée. 2Xn∈L1(Ω)pour tout n≥0. Alors X est une martingale siXn=E[Xn+1| Fn]. X est une sur-martingale siXn≥E[Xn+1| Fn]. X est une sous-martingale siXn≤E[Xn+1| Fn].
aSmy.T(IECN)1M-MartingalesaNncy-Université5/26
naycU-inevsrti6é/26
Interprétation
Adaptation:La mesureXnne dépend que de l’information jusqu’à l’instantn.
Martingale:n7→Xnconstante plus fluctuations.
Sous-martingale:n7→Xncroissante plus fluctuations.
Sur-martingale:n7→Xndécroissante plus fluctuations.
maSNCEI(.TyrtMa1-)MsNlegain
7é2/6
Définition:Soient {Zi;i≥1}v.a. indépendantes de Rademacher ,→P(Zi=−1) =P(Zi=1) =12 On poseX0=0, et pourn≥1,
Marche aléatoire
Propriété:Xest unemartingale.
Xest appelée marche aléatoire dansZ.
n Xn=XZi i=1
sNancy-UniversitCN)M1-MartingaleSmaTy(.EI
Ty(.EINCSmaingalesN)M1-Mart8étisrevinU-ycna
E[Xn] =E[Xm] =E[X0]
E[Xn| Fm] =Xm
Corollaire important:SoitXuneFn-martingale etm≥0. Pour toutn≥mon a
Proposition Soit X uneFn-martingale et m≥0. Pour tout n≥m on a
Espérance conditionnelle dans le passé
Démonstration:par récurrence.
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Fonction convexe d’une martingale
Proposition Soient X uneFnmartingale. -ϕ:R→Rune fonction convexe telle queϕ(Xn)∈L1(Ω)pour tout n≥0. Yn=ϕ(Xn) Alors une sous-martingale.Y est
Démonstration:application de Jensen pour l’espérance conditionnelle.
Exemple:SiXnest la marche aléatoire,Xn2est une sous-martingale ,→Les fluctuations ont tendance à croître.
aSmy.TI(CEN)1M-MartingalesNancy-Université9/26
S)MCNMa1-yTamIE.(naNsU-ycnitrelagé10/26
Plan
niversit
1
Définitions et premières propriétés
Stratégies et martingales arrtées
2
Convergences
3
Théorème d’arrt
4
n [H∙X]n=XHjΔXjoùΔXj=Xj−Xj−1 j=1
Définition Soient(Fn)n≥0une filtration et XH processusFn-adaptés. On dit que H est prévisible si Hn∈ Fn−1. La transformée de X par H est
Interprétation: 1H≡stratégie de jeu ,→On joue aujourd’hui en fonction de l’information jusqu à hier ’ 2H∙X≡valeur en suivant la stratégie.