Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 11 : corrigé Exercice 1. Soit I un intervalle et f : I ? R telle que : ?x ? I, f(x)2 = f(x) Remarque préliminaire. Soit y ? R. y2 = y ? y(y ? 1) = 0 ? y = 0 ou y = 1 La fonction f prend donc uniquement les valeurs 1 ou 0. 1. On suppose dans cette question que f est continue. Supposons que f n'est pas constante. Alors il existe x0 ? I tel que f(x0) = 0 et il existe x1 ? I tel que f(x1) = 1. Or 12 ? [0, 1] et comme f est continue sur I, il existe, d'après le T.V.I., ? ?]x0, x1[ (ou ]x1, x0[) tel que : f(?) = 1 2 Mais alors f(?)2 6= f(?). L'hypothèse « f n'est pas constante » est absurde : la fonction f est constante. 2. Considérons la fonction f telle que f(x) = { 1 si x ≥ 0 0 si x < 0 On vérifie bien pour tout x ? R, f(x)2 = f(x) et que f est non constante et n'est pas continue sur I = R.
- structure usuelle d'espace vectoriel
- applications ?
- hypothèse h1