Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 2 Recherche de Mathematiques 2010-11 1 TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrige des exercices du chapitre 8 – Integrale d'Ito Exercice 8.1 On considere les deux processus stochastiques Xt = ∫ t 0 es dBs , Yt = e ?tXt . 1. Determiner E (Xt), Var(Xt), E (Yt) et Var(Yt). Xt etant l'integrale d'un processus adapte, on a E (Xt) = 0. Par consequent, l'isometrie d'Ito donne Var(Xt) = E (X2t ) = ∫ t 0 e 2s ds = 12 [e 2t?1]. Enfin, par linearite E (Yt) = 0 et par bilinearite Var(Yt) = e?2t Var(Xt) = 12 [1? e ?2t]. 2. Specifier la loi de Xt et de Yt. Etant des integrales stochastiques de fonctions deterministes, Xt et Yt suivent des lois normales (centrees, de variance calculee ci-dessus). 3. Montrer que Yt converge en loi vers une variable Y∞ lorsque t ? ∞ et specifier sa loi. La fonction caracteristique de Yt est E (eiuYt) = e?u 2 Var(Yt)/2. Elle converge donc vers e?u 2/4 lorsque t?∞.
- decoulant de l'inegalite de doob
- combinaison lineaire de variables normales
- loi normale
- remplac¸ant ? par ?? dans la definition de xt
- centree
- centree de variance
- variable y∞
- xt ?