Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Universite de Rouen Master 1, MFA 2010–2011 Analyse des EDP Espaces de Sobolev Sauf mention contraire, les exposants p seront toujours dans [1,+∞]. D'autre part, on notera W 1,p l'ensemble W 1,p(Rn). 1 a) Montrer que si ? est borne et si p ≤ q alors W 1,q(?) ?W 1,p(?) et W 1,q0 (?) ?W 1,p 0 (?). b) Montrer que les resultats ci-dessus sont faux si ? est un ouvert quelconque. [On pourra construire un contre-exemple dans R de la forme (1 + x2) ? 2 avec ? ? R.] 2 Pour ? ?]1? n, 1[, on considere la fonction f(x) = |x|?. a) Montrer que les fonctions f et ?x|x|??2 sont localement integrables. b) Montrer que le gradient de f au sens des distributions est la fonction ?x|x|??2. [On ecrira la formule de Green sur B(0, )c et on fera tendre ? 0.] c) Montrer que f ?W 1,p(B) si et seulement si p < n1?? . d) Conclure que W 1,p(B) 6? C(B) si p < n.
- sauf mention contraire
- espaces de sobolev
- g? ?
- fk ?
- universite de rouen master
- support compact dans ?
- deduire de l'exercice precedent
- identite
- deduire