Niveau: Supérieur, Master
Universite Joseph Fourier Cours MAT403 Master Mathematiques, Informatique Annee 2005–2006 Examen du 5 septembre 2006 Duree de l'epreuve : 3 heures Les notes du cours et des travaux diriges sont autorisees, a l'exclusion de tout autre do- cument. L'exercice et le probleme sont independants. Exercice. On note X = Cb(R) l'espace des fonctions continues bornees de R dans C, muni de la norme ?f?X = sup x?R |f(x)| , f ? X . Soit z un nombre complexe de partie reelle strictement positive. Etant donne f ? X, on definit une fonction Azf : R ? C par la formule (Azf)(x) = 1 2z ∫ R e?z|x?y|f(y) dy , x ? R . 1) Montrer que Azf ? X quel que soit f ? X. 2) Verifier que la correspondance f 7? Azf definit une application lineaire bornee de X dans X, et estimer la norme de cette application. 3) Soit f ? X et g = Azf . Montrer que la fonction g : R ? C est de classe C2 et verifie l'equation differentielle ?g??(x) + z2g(x) = f(x) , x ? R . En deduire que l'application Az : X ? X est injective, mais non surjective.
- algebre des applications lineaires
- az
- rayon spectral de l'application az
- k1?1 ∑
- kj ≤
- mat403 master