Chapitre 7OPRATEURS NON-BORN SDans ce qui suit H et G dØsignent des espaces de Hilbert.Version du 30 mars 2005Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 375É7.1 OpØrateurs fermØs7.1 OpØrateurs fermØsDEFINITION 1 Soient H et G des espaces de Hilbert. Nous dirons quune application li-nØaire T :D(T) G dØÞnie sur un sous-espace vectoriel D(T) de H est un opØrateur , dansH valeurs dans G s il faut prØciser. Nous dirons simplement que c est un opØrateur dans Hsil prend ses valeurs dans H . Le sous-espace vectoriel D(T) sap’ pelle le domaine de T . NousdØsignerons par D(T) le sous-espace vectoriel D(T) muni du produit scalaire(ξ|η) =(ξ|η) +(Tξ|Tη) .D(T) H GCe produit scalaire est parfois notØ (ξ|η) . La norme dØduite s appelle norme en graphe .TNous dirons quun opØrateur T est fermØ si le grapheGrT ={(ξ,Tξ)∈H G| ξ∈D(T)}est fermØ dansH G .THEOREME Soit T un opØrateur dans H . Les propriØtØs suivantes sont Øquivalentes :(i) T est fermØ.(ii) Pour toute suite (ξ ) ⊂D(T) telle quek k∈Nξ := lim ξ et γ := lim Tξk kk kexistent dans H respectivement G,onaξ∈D(T) et γ =Tξ .(iii) D(T)estunespacedeHilbert.Dans ce cas D(T) est l image de GrT par pr et D(T) ,→H est un sous-espace hilbertien1de noyau D :H D(T) tel queT†D(T)=D (H)+T (G) ,T† †i.e. Id =D D +T T , en considØrant les semi-dualitØshD(T)|D(T)i ethH|Hi.D(T) T TLØ’ quivalencede (i)et(ii)estimmØdiate.Pourcellede (i)et(iii),ilsuffitderemarquerqueD(T) est isomØtrique au sous-espace vectoriel GrT @H G ,H G Øtant muni ...
Dans ce qui suitHetGdésignent des espaces de Hilbert.
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7.1
7.1 Opérateurs fermés
Opérateurs fermés
DEFINITION 1SoientHetGespaces de Hilbert. Nous dirons quune application li-des néaireT:D(T)−→GdéÞnie sur un sous-espace vectorielD(T)deHest unopérateur, dans Hà valeurs dansGsil faut préciser. Nous dirons simplement que cest un opérateur dansH sil prend ses valeurs dansH. Le sous-espace vectorielD(T)sappelle ledomainedeT. Nous désignerons parD(T)le sous-espace vectorielD(T)muni du produit scalaire (ξ|η)D(T)= (ξ|η)H+ (Tξ|Tη)G. Ce produit scalaire est parfois noté(ξ|η)T. La norme déduite sappellenorme en graphe. Nous dirons quun opérateurTestfermési le graphe GrT={(ξ, Tξ)∈H × G |ξ∈D(T)} est fermé dansH × G.
THEOREMESoitTun opérateur dansH. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)Test fermé. (ii) Pour toute suite(ξk)k∈N⊂D(T)telle que ξ:= limkξketγ:= limkTξk existent dansHrespectivementG, on aξ∈D(T)etγ=Tξ. (iii)D(T)est un espace de Hilbert. Dans ce casD(T)est limage deGrTparpr1etD(T),→Hest un sous-espace hilbertien de noyauDT:H−→D(T)tel que D(T) =DT(H) +T(G), i.e.IdD(T)=DTDT+TT, en considérant les semi-dualitésh D(T)| D(T)iet Hih H|. Léquivalence de (i) et (ii) est immédiate. Pour celle de (i) et (iii), il suffit de remarquer que D(T)est isométrique au sous-espace vectorielGrT@H × G,H × Gétant muni du produit scalaire produit (cf. exemple 1.2.4). Finalement en notantj:D(T),→Hlinjection canonique, pour toutθ,θ0∈D(T), on a (θ|θ0)D(T)= (jθ|jθ0)H+ (Tθ|Tθ0)G=³θ|³DTDT+TT´θ0´D(T), doù le résultat par le théorème 5.4 et la proposition 5.7. Nous aurions aussi pu appliquer lexemple 5.11.3.¤
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Opérateurs fermés 7.1 REMARQUEEn dautres termes, on peut permuter limite et opérateur fermé, pour autant que les limites existent. Le calcul explicite du noyauDTdeD(T),→Hse fera dans le théorème 7.3.iii. Voir aussi le théorème 7.8.i.
PROPOSITIONPour quun opérateur ferméTdansHsoit continu surD(T), muni de la norme induite parH, il faut et il suffit queD(T)soit fermé dansH. En effet siD(T)de Hilbert et le théorème du graphe ferméest fermé, cest un espace montre queTest continu. Réciproquement siTest continu, il existe un unique prolongement b continuT:D(T)−→G. On a alors GrTb= GrTD(T)×GGrTH×G= GrT, = puisqueTest fermé, donc D(T) = pr1³GrTb´= pr1(GrT) =D(T).
Ceci montre que la notion dopérateur fermé est une bonne généralisation de la notion dopérateur continu à des opérateurs qui ne sont pas partout déÞnis. SCOLIESiTest un opérateur fermé de domaine dense, on a ou bien Test continu et partout déÞni, ou bien Tnest pas continu et nest pas partout déÞni.
¤
DEFINITION 2Dans le premier cas on aT∈L(H,G)et nous dirons queTestborné, dans le second cas on dit queTestnon-borné.
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7.2
7.2 Opérateurs fermables
Opérateurs fermables
Bien souvent un problème se traduit par la donnée dun opérateur qui nest pas fermé. Le but de la théorie des opérateurs non-bornés est essentiellement de construire des prolongements fermés de lopérateur donné, puis détudier leurs propriétés.
DEFINITION 1SiSetTsont des opérateurs dansH, nous dirons queSest unprolonge-mentdeT, notéT⊂S, siD(T)⊂D(S)etT=S|D(T). Nous dirons quun opérateur dansHestfermablesi la fermetureGrTH×GdeGrTdans H × Gest le graphe dun opérateur, évidemment fermé et prolongeantT, appelé lafermeture deTet notéT.
PROPOSITIONSoitTun opérateur dansH. SiTpossède un prolongement ferméS, alorsTest fermable,T⊂Set les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)S=T. (ii)Sest le plus petit prolongement fermé deT. (iii)D(T)est dense dansD(S). On a évidemmentGrTH×G⊂GrS, doncGrTH×Gest un graphe etT⊂S. Léquivalence des trois assertions est immédiate en se rappelant queD(S)est isométrique au sous-espace vectorielGrS@H × G.¤ Ce lemme nous conduit à poser la
DEFINITION 2Un sous-espace vectoriel dense deD(T)sappelle undomaine essentielde T. Le domaine dun opérateur fermable est évidemment un domaine essentiel de sa fermeture. Dautre part tout domaine essentiel dun opérateur de domaine dense est dense dansH, mais la réciproque est fausse (cf. exemple 7.9.8).
REMARQUE 1Linjection canoniquej:D(T),→Het lopérateurT:D(T)−→Gsont continus de norme61. En effet, pour toutξ∈H, on a 2 kξk2H,kTξkG26kξk2H+kTξk2G=kξkD(T). ¤ \b\ Nous désignerons parD(T)le complété deD(T). Soient encorej:D(T)−→Hlunique b\ \ prolongement linéaire continu dejetT:D(T)−→Gcelui deT. Le produit scalaire deD(T) est donné par (ξ|η)D([T)=³jbξ¯bjη´H+³Tbξ¯Tbη´Gpour toutξ,η∈D(\T)
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Opérateurs fermables
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(cf. remarque 1.3). THEOREMESoitTun opérateur dansH. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)Test fermable. (ii)pr1: GrTH×G−→Hest injective. (iii) Pour toute suite(ξk)k∈N⊂D(T)telle quelimkξk= 0dansHet telle quelimkTξkexiste dansG, on alimkTξk= 0. b\ (iv) Lapplication canoniquej:D(T)−→Hest injective. Dans ce cas b³D(\T)´=D¡T¢etTb=T jb. j
(i)⇒(ii)Cest immédiat. (ii)⇒(iii)Posonsγ:= limkTξk. Lhypothèse dans (iii) signiÞe que(ξk, Tξk)k∈Nconverge vers(0,γ)dansGrTH×G. Mais commepr1(0,γ) = 0 = pr1(0,0), on obtientγ= 0par (ii). \b (iii)⇒(iv)Siξ∈D(T)est tel quej(ξ) = 0, il existe une suite(ξk)k∈N⊂D(T)telle que \ ξ= limkξkdansD(T). On a b b b limkξk= limkj(ξk) =j(limkξk) =j(ξ) = 0dansH, et(Tξk)k∈Nest une suite de Cauchy dansG, donc convergente. On en déduit par (iii) que limkTξk= 0dansG, donc que limkkξkkT2= limk¡kξkk2H+kTξkk2G¢= 0, \ ce qui montre que(ξk)k∈Nconverge vers0dansD(T), donc queξ= 0. (iv)⇒(i)SoitSlopérateur déÞni sb³D(\T)´parTb=Sbj. La r urjemarque 1 montre que D(S) =bj³D(\T)´, donc queSest un opérateur fermé par le théorème 7.1. Il suffit donc par la proposition de remarquer queSprolongeTet queD(T)est dense dansD(S).¤
REMARQUE 2Il existe évidemment des opérateurs non-fermables (exercice). Mais nous allons voir (cf. 7.9) que beaucoup dopérateurs différentiels sont fermables. Il nest pas souvent possible de déterminer explicitement le domaineD¡T¢de la fermeture. Cest une des raisons qui nous oblige à introduire un appareil théorique assez élaboré.
REMARQUE 3Les notions dopérateur fermé, à part ce qui concerne la structure de sous-espace hilbertien de son domaine, et dopérateur fermable peuvent sétendre aux espaces de Banach en utilisant les mêmes démonstrations. SiFetGsont des espaces de Banach, par compatibilité on considère la normek·k2surF×GdéÞnie par k·k22:=k·k2F+k·k2G pour pouvoir déÞnir la norme en graphe deD(T).
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7.3
Opérateurs et sous-espaces hilbertiens
7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens
Dans tout ce qui suit nous considérerons un espace localement convexe séparéF, un sous-espace hilbertienH,→Fde noyauh:F−→H et une application linéaire continuet:F−→G.
EXEMPLE (classique)SiTest un opérateur de domaine dense dansHet à valeurs dans G, on peut prendre pourFun domaine essentiel deT, muni de la topologie induite parD(T) ou dune topologie localement convexe séparée telle que linjection canoniquehT:F,→D(T) soit continue. Sij:D(T),→Hdésigne aussi linjection canonique, on obtient le diagramme suivant F,h→TD(T),j→H,j→D(T),h→TF β, puisquehTetjsont dimage dense ceci nous permet didenti ;ÞerHetD(T)βà des sous-espaces hilbertiens deF. Le noyauhdeH,→Fest égal àjhT, donc injectif. On dit parfois lorsqueFpossède des propriétés supplémentaires (nucléarité) queF,→H,→ Fest un Gelfandtriple de. Cadre généralCest le cas si le noyauhdeHnest pas nécessairement injectif, doncF nest pas un sous-espace vectoriel deH, et on considère une application linéaire continue t:F−→G. Ce cadre nous sera utile lorsque nous rencontrerons des situations oùHnest pas dense dansF; cela se présente par exemple pour déÞnir la notion dopérateur décomposable ou en théorie des représentations. Il nous impose également, ce qui est avantageux dans beaucoup de formulations faisant intervenir plusieurs opérateurs, de ne considérer que des opérateurs déÞnis sur le même domaine, en loccurenceh(F), qui est dense dansH.
Rappelons les construction déjà faites dans les exemples 5.11.3 et 5.16.2. On considère la forme sesquilinéaire hermitienne positive (ϕ,ψ)7−→(hϕ|hψ)H+ (tϕ|tψ)G:F×F−→K [ associée au noyau hermitien positifhh+tt, lespace de HilbertD(t)complété de lespace préhilbertien D(t) :=Fhh+tt, lapplication canonique ht:F−→D(t) :ϕ7−→ϕ+ Ker¡hh+tt¢, [ lespace de HilbertD(t)β=D[(t)βplongédansFà laide deht, ainsi que les prolongements linéaires continus canoniques b[b[ h:D(t)−→Hett:D(t)−→G
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Opérateurs et sous-espaces hilbertiens 7.3 dehett. On ah=bhhtett=tbht, donch=hthbett=httb; puisquehethtsont les injections canoniques deHetD(t)βdansF,hbest linjection canonique deHdansD(t)β. Les diagrammes suivants sont donc commutatifs :
et
b Remarquons que les adjointes detettprennent les mêmes valeurs sur les mêmes éléments [ deG. En outre le produit scalaire surD(t)est donné par (ξ|η)D[(t)=³hbξ¯hbη´H+¡tbξb ¢[ ¯tηGpour toutξ,η∈D(t). Le noyau debh(H),→D(t)est évidemmenthbhb:D[(t)−→D(t)(cf. corollaire 5.4.i). Il nous faut maintenant clariÞer les conditions sous lesquellestinduit un opérateur dans H. Le résultat suivant est immédiat.
LEMMELes propriétés suivantes sont équivalentes : e (i)tse factorise parhen un opérateurtde domaineh(F). b (ii) La restriction dehàD(t)est injective. (iii) On aKerh⊂Kert. Un tel opérateur est toujours de domaine dense. Il est alors clair que les espaces préhil-bertiensD(t)etD¡te¢sont isomorphes, et le théorème 7.2 montre queteest fermable si, et b seulement si,hinsistons sur le fait quil nest pas judicieux de remplaçerest injective. Nous t eintéressant dutiliser la semi-dualité+F|F®onnée à priori et intimement part d, car il est plus liée dans les applications au problème considéré. Ceci nous conduit à poser la
b DEFINITIONNous dirons quetestfermabledansHsihest injective et nous désignerons b b parTlopérateur fermé dansHet à valeurs dansGtel quet=T h, appelé lafermeture det. Dans ce cas, on a évidemmentD(T) =bh³D[(t)´, et nous identiÞeronsD[(t)avecD(T), b donchavec linjection canoniquej:D(T),→H. On a donc les diagrammes commutatifs
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7.3 suivants :
et
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Puisqueht,jetjsont des injections canoniques, nous les écrirons parfois sous la forme généraleId, ou bien pas du tout, si aucune confusion nen résulte. Le noyau deH,→D(t)est évidemmentj:D(T)−→H. e REMARQUE 1Sitest fermable, alorstse factorise parhen un opérateurtde domaine e h(F)et la fermeture detest la même que celle det. e Dautre part sitse factorise parhen un opérateurtde domaineh(F), alorstest fermable e si, et seulement si,test fermable.
REMARQUE 2Nous allons jouer sur deux tableaux : certaines formulations ne ferons in-e tervenir queHetT(out), tandis que dautres introduironsFett. Lavantage tient au fait queTétant mal connu, surtout son domaine de déÞnitionD(T), la considération deF, donc en particulier la considération dune topologie adéquate sur le domaine deT, permet de calculer dansF. Cest ce qui donne tant dimportance aux espaces de distributions. e Historiquement lopérateurT(out) a tout dabord été étudié en restant dans lespace de HilbertH; pratiquement les formulations ne faisant intervenir que cet espace (et lopérateur) semblent plus immédiates et mieux interprétables (par exemple en mécanique quantique, mais cela peut aussi dépendre des écoles !). Lune des objections, à vouloir donner une interprétation deF, a trait à son caractère non-canonique (à voir, puisque lon peut prendreF=D¡te¢, mais cest peut-être cette dépendance qui gêne). Nous allons maintenant étudier les différents sous-espaces hilbertiens qui interviennent dans ces considérations. Nous donnerons différentes caractérisations de la fermabilité detdans le théorème du paragraphe suivant.
PROPOSITION (i) Le noyau deD(t)β,→Festhh+tt, i.e. D(t)β=H+t(G);
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Opérateurs et sous-espaces hilbertiens 7.3 en particulier tout élément deD(T)est de la formeξ+tγpour certainsξ∈Hetγ∈G. Lapplication Q:=bhhb+tbtb:D[(t)−→D(t)β est celle de Riesz. Remarquons quebhbhest le noyau deH,→D(t)ettbtbcelui det(G) = tb(G),→D(t). (ii) Siµ∈D(t), alors léquation b hbhθ+ttθ=µ [ possède une unique solutionθ∈D(t). Dautre part le problème variationnel ξ+tγ=µetkξk2H+kγkG2est minimal possède une unique solution(ξ,γ)∈H × G. On a kµk2D(tkξk2 2b b )β=H+kγkG,ξ=hθetγ=Tθ. Démonstration de (i)Cest la reformulation de lexemple 5.11.3. Démonstration de (ii)La première partie est évidente puisqueQest une bijection de [ D(t)surD(t)βtout dabord lassertion de minimalité à la. Quant à la seconde, on applique sommeD(t)β=H+t(G)(cf. 5.7), puis à limaget(G)(cf. 5.4) : on a pHµ∈H,pt(G)µ∈t(G)et¡t¢G−1¡pt(G)µ¢∈G ainsi que µ=pHµ+pt(G)µ,pt(G)µ=t¡t¢G−1¡pt(G)µ¢, kµk2D(t)β=kpHµk2H+°pt(G)µ°t(G), °pt(G)µ°t(G)=°¡t¢G−1¡pt(G)µ¢°G, donc kµk2D(t)β=kpHµk2H+°¡t¢G−1¡pt(G)µ¢°2G. Réciproquement si µ=ξ+tγpour certainsξ∈H,γ∈Getkξk2H+kγk2Gest minimal, on a kγkG>°tγ°t(G), donc kξk2H+kγkG2>kξk2H+°tγ°t2(G)> >kpHµk2H+°pt(G)µ°t2(G)=kpHµk2H+°¡t¢G−1¡pt(G)µ¢°G2; la minimalité entraîne alors légalité, puis lunicité pour la somme que ξ=pHµettγ=pt(G)µ, Claude Portenier OPÉRATEURS NON-BORNÉS383
7.3
Opérateurs et sous-espaces hilbertiens
etÞnalement celle pour limage que γ=¡t¢G−1¡pt(G)µ¢. En outre kµk2D(t)β=kpHµk2H+°¡t¢G−1¡pt(G)µ¢°G=kξk2H+kγkG2. Pour terminer, soitθ∈D[(t)tel que³hbh+tt´bθ=µ; on a alors kξk2H+kγkG2=kµk2D(t)β= (µ|µ)D(t)β=¿−Q1³hbhb+tbt´bθhbbhθ+tbtbθÀD[(t)= ¯ =Dθ|bhbhθED[(t)++θ|tbtbθ®D[(t)=°bhθ°2H+°tθ°G2; b bb par lunicité on obtientξ=hθetγ=tθ.
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Ladjoint dun opérateur
7.4 Ladjoint dun opérateur
PROPOSITIONSoitγ∈G. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) Il existeξ∈Htel que lon ait ¡tbθ¯γ¢G=³bhθ¯ξ´Hpour toutθ∈D[(t). (ii) Il existeξ∈Htel que lon ait (tϕ|γ)G= (hϕ|ξ)Hpour toutϕ∈F. (iii) La forme semi-linéaire ϕ7−→(tϕ|γ)G:F−→K 1 est continue pour la topologie semi-normée déÞnie parϕ7−→hϕ|hϕi2=khϕkHsurF. (iv)tγ∈H. Dans ce cas on aξ=tγ. (i)⇒(ii)En posantθ:=htϕdans (i), il vient (tϕ|γ)G=¡tbhtϕ¯γ¢G=³hhtϕ¯ξ´H= (hϕ|ξ)H. b (ii)⇒(iii)Il suffit dappliquer linégalité de Cauchy-Schwarz. (iii)⇒(iv)Remarquons quil existe par (iii) une constantec∈R+telle que ¯+ϕ|tγ®¯(tϕ|γ)G¯6c· hϕ|1 F¯=hϕi2pour toutϕ∈F; la proposition 5.3.ii montre alors quetγ∈H. (iv)⇒(i)Pour toutϕ∈F, on a ¡tbhtϕ¯γ¢G=+ϕ|tγ®=¡hϕ|tγ¢H, [ doù le résultat et la formule, puisqueht(F)est dense dansD(t).