Chapitre 7OPRATEURS NON-BORN SDans ce qui suit H et G dØsignent des espaces de Hilbert.Version du 6 septembre 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 375É7.1 OpØrateurs fermØs7.1 OpØrateurs fermØsDEFINITION 1 Soient H et G des espaces de Hilbert. Nous dirons quune application li-nØaire T :D(T) G dØÞnie sur un sous-espace vectoriel D(T) de H est un opØrateur , dansH valeurs dans G s il faut prØciser. Nous dirons simplement que c est un opØrateur dans Hsil prend ses valeurs dans H . Le sous-espace vectoriel D(T) sap’ pelle le domaine de T . NousdØsignerons par D(T) le sous-espace vectoriel D(T) muni du produit scalaire(ξ|η) =(ξ|η) +(Tξ|Tη) .D(T) H GCe produit scalaire est parfois notØ (ξ|η) . La norme dØduite s appelle norme en graphe .TNous dirons quun opØrateur T est fermØ si le grapheGrT ={(ξ,Tξ)∈H G| ξ∈D(T)}est fermØ dansH G .THEOREME Soit T un opØrateur dans H . Les propriØtØs suivantes sont Øquivalentes :(i) T est fermØ.(ii) Pour toute suite (ξ ) ⊂D(T) telle quek k∈Nξ := lim ξ et γ := lim Tξk kk kexistent dans H respectivement G,onaξ∈D(T) et γ =Tξ .(iii) D(T)estunespacedeHilbert.Dans ce cas D(T) est l image de GrT par pr et D(T) ,→H est un sous-espace hilbertien1de noyau D :H D(T) tel queT†D(T)=D (H)+T (G) ,T† †i.e. Id =D D +T T , en considØrant les semi-dualitØshD(T)|D(T)i ethH|Hi.D(T) T TLØ’ quivalencede (i)et(ii)estimmØdiate.Pourcellede (i)et(iii),ilsuffitderemarquerqueD(T) est isomØtrique au sous-espace vectoriel GrT @H G ,H G Øtant ...
Dans ce qui suitHetGdésignent des espaces de Hilbert.
rNALAYSEOFCNITONNELLE
Version du 6 septembre 2004
375
7.1
7.1 Opérateurs fermés
Opérateurs fermés
DEFINITION 1SoientHetGespaces de Hilbert. Nous dirons quune application li-des néaireT:D(T)−→GdéÞnie sur un sous-espace vectorielD(T)deHest unopérateur, dans Hà valeurs dansGsil faut préciser. Nous dirons simplement que cest un opérateur dansH sil prend ses valeurs dansH. Le sous-espace vectorielD(T)sappelle ledomainedeT. Nous désignerons parD(T)le sous-espace vectorielD(T)muni du produit scalaire (ξ|η)D(T)= (ξ|η)H+ (Tξ|Tη)G. Ce produit scalaire est parfois noté(ξ|η)T. La norme déduite sappellenorme en graphe. Nous dirons quun opérateurTestfermési le graphe GrT={(ξ, Tξ)∈ |H × Gξ∈D(T)} est fermé dansH × G.
THEOREMESoitTun opérateur dansH. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)Test fermé. (ii) Pour toute suite(ξk)k∈N⊂D(T)telle que ξ:= limkξketγ:= limkTξk existent dansHrespectivementG, on aξ∈D(T)etγ=Tξ. (iii)D(T)est un espace de Hilbert. Dans ce casD(T)est limage deGrTparpr1etD(T),→Hest un sous-espace hilbertien de noyauDT:H−→D(T)tel que D(T) =DT(H) +T(G), i.e.IdD(T)=DTDT+TT, en considérant les semi-dualitésh D(T)| D(T)iet Hih H|. Léquivalence de (i) et (ii) est immédiate. Pour celle de (i) et (iii), il suffit de remarquer que D(T)est isométrique au sous-espace vectorielGrT@H × G,H × Gétant muni du produit scalaire produit (cf. exemple 1.2.4). Finalement en notantj:D(T),→Hlinjection canonique, pour toutθ,θ0∈D(T), on a (θ|θ0)D(T)= (jθ|jθ0)H+ (Tθ|Tθ0)G=³θ|³DTDT+TT´θ0´D(T), doù le résultat par le théorème 5.4 et la proposition 5.7. Nous aurions aussi pu appliquer lexemple 5.11.3.¤
376
OPÉRATEURS NON-BORNÉS Claude Portenier
Opérateurs fermés 7.1 REMARQUEEn dautres termes, on peut permuter limite et opérateur fermé, pour autant que les limites existent. Le calcul explicite du noyauDTdeD(T),→Hse fera dans le théorème 7.3.iii. Voir aussi le théorème 7.8.i.
PROPOSITIONPour quun opérateur ferméTdansHsoit continu surD(T), muni de la norme induite parH, il faut et il suffit queD(T)soit fermé dansH. En effet siD(T)est fermé, cest un espace de Hilbert et le théorème du graphe fermé montre queTest continu. Réciproquement siTest continu, il existe un unique prolongement b continuT:D(T)−→G. On a alors GrTb= GrTD(T)×G= GrTH×G= GrT, puisqueTest fermé, donc D(T) = pr1³GrT´b= pr1(GrT) =D(T).¤ Ceci montre que la notion dopérateur fermé est une bonne généralisation de la notion dopérateur continu à des opérateurs qui ne sont pas partout déÞnis. SCOLIESiTest un opérateur fermé de domaine dense, on a ou bien Test continu et partout déÞni, ou bien Tnest pas continu et nest pas partout déÞni.
DEFINITION 2Dans le premier cas on aT∈L(H,G)et nous dirons queTestborné, dans le second cas on dit queTestnon-borné.
Claude Portenier
OPÉRATEURS NON-BORNÉS
377
7.2
7.2 Opérateurs fermables
Opérateurs fermables
Bien souvent un problème se traduit par la donnée dun opérateur qui nest pas fermé. Le but de la théorie des opérateurs non-bornés est essentiellement de construire des prolongements fermés de lopérateur donné, puis détudier leurs propriétés. DEFINITION 1SiSetTsont des opérateurs dansH, nous dirons queSest unprolonge-mentdeT, notéT⊂S, siD(T)⊂D(S)etT=S|D(T). Nous dirons quun opérateur dansHestfermablesi la fermetureGrTH×GdeGrTdans H × Gle graphe dun opérateur, évidemment fermé et prolongeantest T, appelé lafermeture deTet notéT.
PROPOSITIONSoitTun opérateur dansH. SiTpossède un prolongement ferméS, alorsTest fermable,T⊂Set les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)S=T. (ii)Sest le plus petit prolongement fermé deT. (iii)D(T)est dense dansD(S). On a évidemmentGrTH×G⊂GrS, doncGrTH×Gest un graphe etT⊂S. Léquivalence des trois assertions est immédiate en se rappelant queD(S)est isométrique au sous-espace vectorielGrS@H × G.¤ Ce lemme nous conduit à poser la DEFINITION 2Un sous-espace vectoriel dense deD(T)sappelle undomaine essentielde T. Le domaine dun opérateur fermable est évidemment un domaine essentiel de sa fermeture. Dautre part tout domaine essentiel dun opérateur de domaine dense est dense dansH, mais la réciproque est fausse (cf. exemple 7.9.8). REMARQUE 1Linjection canoniquej:D(T),→Het lopérateurT:D(T)−→Gsont continus de norme61. En effet, pour toutξ∈H, on a kξk2H,kTξkG26kξk2H+kTξk2G=kξk2D(T).¤ \b\ Nous désignerons parD(T)le complété deD(T). Soient encorej:D(T)−→Hlunique b\ prolongement linéaire continu dejetT:D(T)−→Gcelui deT. Le produit scalaire de \ D(T)est donné par \ (ξ|η)D(\T)=³jbξ¯jbη´H+³Tbξ¯Tbη´Gpour toutξ,η∈D(T) (cf. remarque 1.3).
378
OPÉRATEURS NON-BORNÉS
Claude Portenier
Opérateurs fermables
7.2
THEOREMESoitTun opérateur dansH. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)Test fermable. (ii)pr1: GrTH×G−→Hest injective. (iii) Pour toute suite(ξk)k∈N⊂D(T)telle quelimkξk= 0dansHet telle quelimkTξkexiste dansG, on alimkTξk= 0. b\ (iv) Lapplication canoniquej:D(T)−→Hest injective. Dans ce cas j³bD(T)´=D¡T¢etTb=Tbj. \
(i)⇒(ii)Cest immédiat. (ii)⇒(iii)Posonsγ:= limkTξk. Lhypothèse dans (iii) signiÞe que(ξk, Tξk)k∈Nconverge vers(0,γ)dansGrTH×G. Mais commepr1(0,γ) = 0 = pr1(0,0), on obtientγ= 0par (ii). \b (iii)⇒(iv)Siξ∈D(T)est tel quej(ξ) = 0, il existe une suite(ξk)k∈N⊂D(T)telle que \ ξ= limkξkdansD(T). On a b b b limkξk= limkj(ξk) =j(limkξk) =j(ξ) = 0dansH, et(Tξk)k∈Nest une suite de Cauchy dansG, donc convergente. On en déduit par (iii) que limkTξk= 0dansG, donc que limkkξkkT2= limk¡kξkk2H+kTξkkG2¢= 0, \ ce qui montre que(ξk)k∈Nconverge vers0dansD(T), donc queξ= 0. (iv)⇒(i)SoitSlopérateur déÞbj³D(\T)´parTb=Sbj. ni sur La remarque 1 montre que D(S) =j³bD(\T)´, donc queSest un opérateur fermé par le théorème 7.1. Il suffit donc par la proposition de remarquer queSprolongeTet queD(T)est dense dansD(S).¤
REMARQUE 2Il existe évidemment des opérateurs non-fermables (exercice). Mais nous allons voir (cf. 7.9) que beaucoup dopérateurs différentiels sont fermables. Il nest pas souvent possible de déterminer explicitement le domaineD¡T¢de la fermeture. Cest une des raisons qui nous oblige à introduire un appareil théorique assez élaboré.
REMARQUE 3Les notions dopérateur fermé, à part ce qui concerne la structure de sous-espace hilbertien de son domaine, et dopérateur fermable peuvent sétendre aux espaces de Banach en utilisant les mêmes démonstrations. SiFetGsont des espaces de Banach, par compatibilité on considère la normek·k2surF×GdéÞnie par k·k22:=k·k2F+k·k2G pour pouvoir déÞnir la norme en graphe deD(T).
Claude Portenier
OPÉRATEURS NON-BORNÉS
379
7.3
Opérateurs et sous-espaces hilbertiens
7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens
Dans tout ce qui suit nous considérerons un espace localement convexe séparéF, un sous-espace hilbertienH,→Fde noyauh:F−→H et une application linéaire continueT:F−→G.
EXEMPLE (classique)SiTest un opérateur de domaine dense dansHet à valeurs dans G, on peut prendre pourFun domaine essentiel deT, muni de la topologie induite parD(T) ou dune topologie localement convexe séparée telle que linjection canoniquehT:F,→D(T) soit continue. Sij:D(T),→Hdésigne aussi linjection canonique, on obtient le diagramme suivant F,h→TD(T),j→H,j→D(T)βh→TF , , puisquehTetj ceci nous permet didenti ;sont dimage denseÞerHetD(T)βà des sous-espaces hilbertiens deF. Le noyauhdeH,→Fest égal àjhT, donc injectif. On dit parfois lorsqueFpossède des propriétés supplémentaires (nucléarité) queF,→H,→ Fest un Gelfandtriple de. Cadre généralCest le cas si le noyauhdeHnest pas nécessairement injectif, doncF nest pas un sous-espace vectoriel deH, et on considère une application linéaire continue T:F−→G. Ce cadre nous sera utile lorsque nous rencontrerons des situations oùHnest pas dense dansFse présente par exemple pour dé; cela Þnir la notion dopérateur décomposable ou en théorie des représentations. Il nous impose également, ce qui est avantageux dans beaucoup de formulations faisant intervenir plusieurs opérateurs, de ne considérer que des opérateurs déÞnis sur le même domaine, en loccurenceh(F), qui est dense dansH.
Nous supposerons sauf mention explicite du contraire que tout opérateur dansHest de domaine dense.
Rappelons les construction déjà faites dans les exemples 5.11.3 et 5.16.2. On considère la forme sesquilinéaire hermitienne positive (ϕ,ψ)7−→(hϕ|hψ)H+ (Tϕ|Tψ)G:F×F−→K \ associée au noyau hermitien positifhh+TT, lespace de HilbertD(T)complété de lespace préhilbertien D(T) :=Fhh+TT, lapplication canonique hT:F−→D(T) :ϕ7−→ϕ+ Ker¡hh+TT¢, \
380
OPÉRATEURS NON-BORNÉS Claude Portenier
Opérateurs et sous-espaces hilbertiens 7.3 lespace de HilbertD(T)β=D(\T)βplongédansFà laide dehT, ainsi que les prolongements linéaires continus canoniques b\b\ h:D(T)−→HetT:D(T)−→G dehetT. On ah=bhhTetT=TbhT, donch=hThbetT=hTTb; puisquehethTsont les injections canoniques deHetD(T)βdansF,bhest linjection canonique deHdansD(T)β. Les diagrammes suivants sont donc commutatifs :
et
.
b Remarquons que les adjointes deTetTprennent les mêmes valeurs sur les mêmes éléments \ deG. En outre le produit scalaire surD(T)est donné par (ξ|η)D([T)=³hbξ¯hbη´H+³TξTη´pour toutξ,η∈D(\T). b b ¯G Il nous faut maintenant clariÞer les conditions sous lesquellesTinduit un opérateur dans H. Le résultat suivant est immédiat.
LEMMELes propriétés suivantes sont équivalentes : e (i)Tse factorise parhen un opérateurTde domaineh(F). b (ii) La restriction dehàD(T)est injective. (iii) On aKerh⊂KerT. Un tel opérateur est toujours de domaine dense. Il est alors clair que les espaces préhil-sD(T)etD³Te´sont isomorphes, et le te bertien héorème 7.2 montre queTest fermable si, b et seulement si,hest injective. Nous insistons sur le fait quil nest pas judicieux de rempla-çerTparT, car il est plus intéressant dutiliser la semi-dualité+F|F®donnée à priori et e intimement liée dans les applications au problème considéré. Ceci nous conduit à poser la b DEFINITIONNous dirons queTestfermabledansHsihest injective et nous désignerons b b parTlopérateur fermé dansHet à valeurs dansGtel queT=T h, appelé lafermeture de T.
Claude Portenier OPÉRATEURS NON-BORNÉS
381
7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens Dans ce cas, on a évidemmentD¡T¢=bh³D(\T)´et no\ , us identiÞeronsD(T)avecD¡T¢, donchbavec linjection canoniquej:D¡T¢,→H. On a donc les diagrammes commutatifs
et
.
PuisquehT,jetjsont des injections canoniques, nous les écrirons sous la forme généraleId, ou bien pas du tout, si aucune confusion nen résulte. REMARQUENous allons jouer sur deux tableaux : certaines formulations ne ferons inter-venir queHetT, tandis que dautres introduironsF. Lavantage tient au fait queTétant mal connu, surtout son domaine de déÞnitionD¡T¢, la considération deF, donc en particu-lier la considération dune topologie adéquate sur le domaine deT, permet de calculer dans Fce qui donne tant dimportance aux espaces de distributions.. Cest Historiquement lopérateurTtout dabord été étudié en restant dans lespace de Hilberta H; pratiquement les formulations ne faisant intervenir que cet espace (et lopérateur) semblent plus immédiates et mieux interprétables (par exemple en mécanique quantique, mais cela peut aussi dépendre des écoles !). Lune des objections, à vouloir donner une interprétation deF, a trait à son caractère non-canonique (à voir, puisque lon peut prendreF=D(T), mais cest peut-être cette dépendance qui gêne). PROPOSITION (i) Le noyau deD(T)β,→Festhh+TT, i.e. D(T)β=H+T(G); en particulier tout élément deD(T)est de la formeξ+Tγpour certainsξ∈Hetγ∈G. Lapplication h+T Q:=hbbTbb:D(\T)−→D(T)β est celle de Riesz. Remarquons quehbbhest le noyau deH,→D(T)etTbTbcelui deT(G) =Tb(G),→ D(T). (ii) Siµ∈D(T), alors léquation b+TTbθ=µ h hθ
382
OPÉRATEURS NON-BORNÉS
Claude Portenier
Opérateurs et sous-espaces hilbertiens 7.3 \ possède une unique solutionθ∈D(T). Dautre part le problème variationnel 2 ξ+Tγ=µetkξk2H+kγkGest minimal possède une unique solution(ξ,γ)∈H × G. On a kµk2D(T)β=kξk2H+kγk2G,ξ=hbθetγ=Tbθ. Démonstration de (i)Cest la reformulation de lexemple 5.11.3. \ Démonstration de (ii)La première partie est évidente puisqueQest une bijection deD(T) surD(T)β. Quant à la seconde, on applique tout dabord lassertion de minimalité à la somme D(T)β=H+T(G)(cf. 5.7), puis à limageT(G)(cf. 5.4) : on a pHµ∈H,pT(G)µ∈T(G)et¡T¢G−1¡pT(G)µ¢∈G ainsi que µ=pHµ+pT(G)µ,pT(G)µ=T¡T¢G−1¡pT(G)µ¢, kµk2D(T)β=kpHµk2H+°pT(G)µ°T(G), °pT(G)µ°T(G)=°¡T¢G−1¡pT(G)µ¢°G , donc kµk2D(T)β=kpHµk2H+°¡T¢G−1¡pT(G)µ¢°G2. Réciproquement si µ=ξ+Tγpour certainsξ∈H,γ∈Getkξk2H+kγk2Gest minimal, on a kγkG>°Tγ°T(G), donc kξk2H+kγkG2>kξk2H+°Tγ°2> T(G) 2 >kpHµk2H+°pT(G)µ°2T(G)=kpHµk2H+°¡T¢G−1¡pT(G)µ¢°G ; la minimalité entraîne alors légalité, puis lunicité pour la somme que ξ=pHµetTγ=pT(G)µ, etÞnalement celle pour limage que γ=¡T¢G−1¡pT(G)µ¢. En outre 2 kµk2D(T)β=kpHµk2H+°¡T¢G−1¡pT(G)µ¢°G=kξk2H+kγkG. Pour terminer, soitθ∈D(T)tel que³hbh+TTb´θ=µ; on a alors \ kξk2H+kγkG2=kµk2D(T)β= (µ|µ)D( )β=DQ−1³hbhb+TbTb´θ¯bhhbθ+TbTbθED[= T(T) Claude Portenier OPÉRATEURS NON-BORNÉS383
7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens b2 =Dθ|hbbhθED([T)+Dθ|TbTbθED([T)=°bhθ°2H+Tθ; ° °G b b par lunicité on obtientξ=hθetγ=Tθ.¤ En récapitulant les résultats obtenus on a le
THEOREMELes propriétés suivantes sont équivalentes : (i)Test fermable. (ii)h(F), ouH, est dense dansD(T)β. (iii) La semi-dualitéDD(\T)¯D(T)Eest bien plongeable. Dans ce casDD¡T¢¯D(T)Eest bien plongée et, pour toutϕ∈F,θ∈D¡T¢,ξ∈Het µ∈D(T), on a hϕ|µiF=hhϕ|µiD(T),hϕ|θiF=hhϕ|θiD(T) et (θ|ξ)H=hθ|ξiD(T). En outre Q +:= IdTT:D¡T¢−→D(T)β est lapplication de Riesz ; les noyaux de D¡T¢,→D¡T¢,D¡T¢,→H,H,→D(T) et D(T)β,→D(T),D(T)β,→F sont respectivement Q−1:D(T)−→D¡T¢,Q−1|H:H−→D¡T¢,Id :D¡T¢,→H et Q:D¡T¢−→D(T),QhT:F−→D(T)β. β Il suffidappliquer le corollaire de lexemple 5.17.2. Remarquons premièrement quet hbh: D(\T)−→Fest une factorisation cohdoncTest fermable i.eb ntinue deh, .hest injective xièmemenbhh:F− si, et seulement si, la condition (iii) de ce corollaire est satisfaite. Deu t→ D(T):ϕ7−→hϕest continue, donch(F)est dense dansD(T)β, ou bienHest dense dans D(T)β(puisqueh(F)est dense dansH) si, et seulement si, la condition (ii) du corollaire est satisfaite. Les formules de dualité ne sont quune réécriture de celles de la déÞnition 5.17.2. Puisque nous identiÞonsD(T)avecD¡T¢, lapplication de Riesz a été calculée dans la proposition \ précédente. Finalement, on obtient les noyaux des différents sous-espaces hilbertiens en utilisant les formules de dualité.¤