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Informations
Publié par | Hermès - Editions Lavoisier |
Date de parution | 24 septembre 2010 |
Nombre de lectures | 41 |
EAN13 | 9782746241213 |
Langue | Français |
Poids de l'ouvrage | 5 Mo |
Informations légales : prix de location à la page 0,0412€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.
Extrait
Analyse et contrôle des équations différentielles
Photo de couverture : régulateur de James Watt monté sur la machine de Lenoir qui
se trouve au Musée des Arts et Métiers-Cnam, Paris.
© LAVOISIER, 2010
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr
ISBN 978-2-7462- 2989-1
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Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.
Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, September 2010.
Analyse et contrôle
des équations différentielles
Philippe Destuynder
Tabledesmatières
Avant -propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
PREMIÈRE PARTIE.INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chapitre1.Introductionauxéquationsdifférentielles . . . . . . . . . . . . 15
1.1. Lessystèmesdifférentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Casoùf nedépendquedet:f(x,t)≡f(t) . . . . . . . . . . . . 16
∂f
1.1.2. Casoùf estaffineenxetA = indépendantedutemps . . . 17
∂x
∂f
1.1.3. Casoùf estaffineetA = dépenddutemps . . . . . . . . . . 17
∂x
1.1.4. Leséquationsnonlinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
DEUXIÈMEPARTIE.ANALYSENUMÉRIQUEDESÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES.................................. 27
Chapitre2.Intégrationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Laproblématiqueetlesoutils. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Méthoded’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Découpagedusegmentd’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Lelissagedefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chapitre3.Equationsdifférentielleslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. CasoùAestdiagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. CasoùAn’estpas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Représentationmatricielledessolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Dépendancedesdonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
56 AnalyseetcontrôledesEDO
Chapitre4.MéthodesnumériquespourlesEDOlinéaires . . . . . . . . . . 45
4.1. Lesméthodesmultipas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2. Etudeduschémaθ-Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1. Discussionsurlastabilitéd’unschéma . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2.del’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.3. Discussionsurlaconstantedetemps . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4. Convergenceduschémadeθ-Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. SchémadeRungeetKutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1. Descriptiondel’algorithmedeRungeetKutta . . . . . . . . . . . 52
4.3.2. StabilitéetordreduschémadeetKutta . . . . . . . . . . . 53
4.4. Etudegénéraled’unschémamultipaspouruneEDOlinéaire . . . . . . 56
4.5. Etudedestauxd’amortissementetdesvitessesdephases . . . . . . . . 59
4.6. Equationsdifférentiellesdusecondordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.1. Schématotalementcentré(implicite) . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.2.partiellementcentré(explicite) . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.3. SchémasdeNewmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Chapitre5.Equationslinéairesfonctiondutemps . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1. Unexempleconcret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2. Laméthodedelarésolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3. Casdevariationspériodiquesdesmatricestangentes . . . . . . . . . . 71
5.4. Unexempleanalytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5. L’approximationasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Chapitre6.Généralitéssurleséquationsdifférentielles . . . . . . . . . . . 77
6.1. Formulationdeshypothèsessurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2. Existenceetunicitédesolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3. Représentationgraphiquedessolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4. Exempled’uneéquationdontlasolutionn’estpasbornée. . . . . . . . 82
6.4.1. Unexempleavecoscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Chapitre7.Résolutiondeséquationsnonlinéaires . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1. Méthodedupointfixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.1. Descriptiondel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.2. Convergencededupointfixe . . . . . . . . . . . . . 88
7.2. LaméthodedeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.1. Descriptiondel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.2. Etudedelaconvergencedel’algorithmedeNewton . . . . . . . . 91
7.3. Laméthodedequasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4. Méthodedelarecherchesuruneligne,variantedutypeBFGS . . . . . 95Tabledesmatières 7
7.5. SchémaentempspouruneEDOnonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Chapitre8.Recherchedecycleslimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1. LethéorèmedePoincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1.1. Critèrede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.1.2.del’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.1.3. Commentconstruiredesensemblesinvariants? . . . . . . . . . . 105
8.2. Laméthodesdesformesnormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.1. Etape1:passagedanslabaseproprequidiagonaliseA . . . . . . 109
8.2.2. Etape2:tentatived’éliminationdestermesd’ordredeux . . . . . 110
8.2.3. Etape3:vedestrois . . . . . 112
8.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
TROISIÈME PARTIE.CONTRÔLE ET RÉGULATION . . . . . . . . . . . . . . 117
Chapitre9.Régulationàgainconstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.1. Introductionetpositiondesproblèmesabordés . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2. CasoùN =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.3. CasoùN> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.4. Contrôlabilitéexactedesdonnéesinitiales . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.5. DiscussionducritèrederégulationpourN =2 . . . . . . . . . . . . . 133
9.5.1. Critèrederégulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.5.2.decontrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.6. Contrôlabilité pour un système du second ordre à plusieurs degrés
de .liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.7. Aspectsnumériquesdelarégulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Chapitre10.Contrôleoptimaldessystèmesdifférentiels . . . . . . . . . . . 141
10.1.Leproblèmedecontrôleoptimalestbienposé . . . . . . . . . . . . . . 142
10.2.Caractérisationduoptimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3.Algorithmesdecalculducontrôleoptimal . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.4.Unexemplemonodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5.Unexbidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.6.Aspectsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.7.LecontrôledeRiccatipouruntempslong . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.8.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Chapitre11.Comportementasymptotiqueàcoûtévanescent . . . . . . . . 157
11.1.L’analyseasymptotiqueformelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.2.Concentrationdescontrôlesversl’origine . . . . . . . . . . . . . . . . 1658 AnalyseetcontrôledesEDO
11.3.Unexemplesimple:l’alunissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.4.Unmodèleantivibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.5.Unevarianteducritèrefinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.6.Contrôled’unsystèmecouplédutypegyroscopique . . . . . . . . . . 175
11.6.1.Uneversionduprogrammepourdeuxmodespropres . . . . . . 180
11.7.Casd’uncontrôledegain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.8.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Chapitre12.Priseencomptedecontraintessurlecontrôle . . . . . . . . . 193
12.1.Problèmedecontrôleavec . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
12.2.Lepremiermodèlelimiteformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2.1.Existencedesol